turunana matematika sma kelas 3

TURUNAN (DERIVATIF)

A.     Rumus–Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:

1.      y = u + v,         Þ y’ = u’+ v’

2.      y = c·u,            Þ y’= c· u’

3.      y = u·v,            Þ y’= v· u’ + u· v’

4.      y = ,             Þ y’= (v· u’ – u· v’) : v²

5.      y = uⁿ,  Þ y’= n·u^{n – 1} · u’

6.      y = sin u,          Þ y’= cos u· u’

7.      y = cos u,         Þ y’= – sin u·u’

8.      y = tan u,         Þ y’= sec² u·u’

9.      y = cotan u,      Þ y’ = – cosec² u·u’

10.  y = sec u,         Þ y’ = sec u· tan u·u’

11.  y = cosec, u     Þ y’ = –cosec u· cotan u·u’

Keterangan:

y' : turunan pertama dari y

u’ : turunan pertama dari u

v’ : turunan pertama dari v

Identitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u × cos u = sin 2u

Soal-soal

1.      UN 2008 PAKET A/B

Diketahui f(x) = 3x³ + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = …

2.      EBTANAS 2002

Turunan pertama fungsi y = ,

adalah y’ = …

3.      UN 2006

Turunan pertama fungsi f(x) = sin²(8x – 2p) adalah f’(x) = …

4.      UAN 2003

Turunan pertama dari f(x) = sin²(2x – 3) adalah f’(x) = …

5.      UN 2005

Turunan pertama f(x) = cos³x adalah …

6.      UN 2007 PAKET B

Turunan dari y = sin³(2x – 4) adalah

y’(x) = …

7.      UN 2004

Turunan pertama fungsi f(x) = cos²(3x + 6) adalah f’(x) = …

8.      UAN 2003

Turunan pertama dari f(x) = (3x² – 5) cos x adalah f’(x) = …

9.      EBTANAS 2002

Diketahui f(x) = (1 + sin x)² (1 + cos x)⁴ dan f’(x) adalah turunan pertama f(x).

nilai f’() = …

B.     Aplikasi turunan suatu fungsi

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1)      Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah:

y – b = m(x – a)

2)      Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3)      Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

4)      Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0

Soal-soal

1.      UN 2010 PAKET B

Garis singgung kurva y = (x² + 2)² yang melalui titik (1, 9) memotong sumbu Y di titik …

a. (0, 8)                          b. (0, 4)                    c. (0, –3)                     d. (0, –12)                e. (0, –21)

Jawab: c

2.      UN 2010 PAKET A

Diketahui h adalah garis singgung kurva

y = x³ – 4x² + 2x – 3 pada titik (1, – 4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah …

a. (–3, 0)               b. (–2, 0)           c. (–1, 0)           d. (–, 0)          e. (–, 0)

Jawab: e

3.      UN 2012/B25

Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x + 2y = 4, sumbu X dan sumbu Y. Dari sebuah titik pada garis itu dibuat garis–garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga membentuk sebuah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Luas maksimum daerah persegi panjang yang diarsir adalah ... satuan luas

4.      UN 2008 PAKET A/B

Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan

h(t) = 120t – 5t², maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah … meter

a.       270          b.      320             c.       670             d.      720            e.       770

Jawab d